Wednesday, February 16, 2011

Tỉ giá Đồng-USD tăng giảm bao nhiêu? Bàn về con số phần trăm

http://www.p-p.com.au/blog/images/blogs/i290-l-percentage.jpgTuần trước, bác Nguyễn Vạn Phú có một entry thú vị về con số phần trăm tăng và giảm ("bao nhiêu phần trăm") liên quan đến tỉ giá Đồng và USD.  Tiếp theo một bài viết trước đây trên TBKTSG về con số phầm trăm, trong entry này tôi sẽ bàn tiếp và chỉ ra tại sao cả con số tăng 9.3% và giảm 8.5% đều sai.


Để hiểu vấn đề, tôi tóm lược câu chuyện như sau.  Ngày 9/2/2011 vừa qua, Ngân hàng Nhà nước ra thông cáo điều chỉnh tỉ giá 1 USD mua 20,693 Đồng.  Trước đây tỉ giá chính thức là 1 USD = 18,932 Đ.  Tờ Financial Times cho rằng tỉ giá giảm 9.3%.  Thế nhưng hãng thông tấn Reuter thì viết rằng tỉ giá giảm 8.5%.  Tại sao cùng một số liệu nguyên thủy mà lại có 2 cách diễn giải khác nhau?  Đáng lẽ, theo lương năng bình dân, nếu nói A cao hơn B 9.3%, thì phải có thể nói B thấp hơn A 9.3% chứ.  Nhưng trong thực tế thì không.  Câu trả lời nằm ở cách tính:

(a)    Nếu lấy tỉ giá mới chia cho tỉ giá cũ, kết quả là 20693 / 18932 = 1.093, tức là tăng 9.3%;

(b)    Nhưng nếu lấy tỉ giá cũ chia cho tỉ giá mới, một kết quả mới là: 18932 / 20693 = 0.915, tức là giảm 8.5%;

Như vậy, sự khác nhau chính là ở mẫu số.  Cùng là 2 số, nhưng tùy theo cách đặt mẫu số, sẽ dẫn đến 2 kết quả khác nhau, và dĩ nhiên là 2 cách diễn giải khác nhau.  Có thể lấy một ví dụ khác để minh họa cho vấn đề.  Chiều cao trung bình ở nam giới (tuổi 20 trở lên) gốc Việt là 165 cm, và nữ giới là 153 cm.  Do đó, chiều cao nam giới cao hơn nữ 7.8% (165 / 153 = 1.078), nhưng nữ thấp hơn nam là 7.3% (153 / 165 = 0.927).  Hai số phần trăm khác nhau.  Chỉ cần thay đổi mẫu số, chẳng những dấu bị biến đổi mà hiệu số biến đổi cũng thay đổi theo.  Đây chính là một khiếm khuyết của con số phần trăm; khiếm khuyết vì nó thiếu đặc điểm đối xứng mà thuật ngữ toán gọi là asymmetry (phi đối xứng).

Vậy câu hỏi đặt ra làm sao để con số phần trăm đối xứng (symmetric)?  Phương pháp đơn giản nhất là lấy trung bình của hai con số phần trăm biến đổi, và kết quả sẽ là hiệu số sẽ không thay đổi.  Một chút đại số: gọi x1x2 là 2 số nguyên thủy, hiệu số phần trăm của x1x2, hay phần trăm biến đổi (lấy kí hiệu là p cho tiện) là:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mi»p«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»100«/mn»«mfrac»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»100«/mn»«mfrac»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»100«/mn»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»100«/mn»«mfrac»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»H«/mi»«mi»M«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Trong đó, HM(x) là số trung bình điều hòa (harmonic mean) [1] của x1x2.  Trong ví dụ chiều cao trên, hiệu số là:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mo»=«/mo»«mn»100«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»165«/mn»«mo»-«/mo»«mn»153«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»165«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»153«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»7«/mn»«mo».«/mo»«mn»56«/mn»«mo»%«/mo»«/math»
Nói cách khác, nam cao hơn nữ (và nữ thấp hơn nam) khoảng 7.6%.  Và, trong ví dụ về biến đổi tỉ giá:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mo»=«/mo»«mn»100«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»20693«/mn»«mo»-«/mo»«mn»18932«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»20693«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»18932«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»8«/mn»«mo».«/mo»«mn»9«/mn»«mo»%«/mo»«/math»

Có thể phát biểu rằng tỉ giá tăng gần 9%, nhưng cũng có thể nói giảm 9%.

Thật ra, có thể chứng minh (hơi dài dòng một chút) rằng “mô hình” trên cũng tương đương với tính toán bằng logarithm:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mo»=«/mo»«mn»100«/mn»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»100«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»ln«/mi»«mfenced»«mfrac»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mfrac»«/mfenced»«/math»

Chú ý kí hiệu ln là logaritm base e.  Chẳng hạn như «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mo»=«/mo»«mn»100«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»ln«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»165«/mn»«mn»153«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»7«/mn»«mo».«/mo»«mn»6«/mn»«mo»%«/mo»«/math» cho ví dụ chiều cao, và «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mo»=«/mo»«mn»100«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»ln«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»20693«/mn»«mn»18932«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»8«/mn»«mo».«/mo»«mn»9«/mn»«mo»%«/mo»«/math» cho ví dụ tỉ giá.  Cái “đẹp” của logarithm chính là đặc tính đối xứng.  Trong trường hợp tỉ giả, có thể thay đổi mẫu số «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mo»=«/mo»«mn»100«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»ln«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»18932«/mn»«mn»20693«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»8«/mn»«mo».«/mo»«mn»9«/mn»«mo»%«/mo»«/math», tức giảm 8.9%.

Nói tóm lại, tôi đồng ý với bác Nguyễn Vạn Phú rằng trong hai con số phần trăm 9.3% và 8.5% mà giới báo chí phương Tây nêu là “không có con số nào đúng cả”, nhưng lí do không đúng thì tôi khác với bác Phú.

Quay trở lại vấn đề tỉ giá, tôi nghĩ cách phát biểu thích hợp nhất (hiểu theo nghĩa “khoa học” nhất) là tỉ giả đã tăng (hay giảm) ~9%.  Bài học ở đây là để tính tỉ lệ biến đổi chính xác và dễ diễn giải, cần phải hoán chuyển dữ liệu sang đơn vị logarithm. Con số phần trăm được xem là một trong những phát kiến có ích nhất trong lịch sử con người, nhưng con số này cũng gây ra nhiều hiểu lầm vì tính toán sai. Hi vọng những lí giải trên giải tỏa phần nào những sai sót trong giới báo chí (và giới khoa học nữa) và trả cái đẹp đối xứng cho con số phần trăm.

Chú thích:

Có rất nhiều điều hay và thú vị về con số phần trăm (đến nổi người ta viết hẳn một cuốn sách về con số này), nhưng tôi sẽ quay lại khi nào có cảm hứng, còn bây giờ thì mới trải qua một tấn công của tin tặc nên hết cảm hứng. :-)

[1] Harmonic mean hay số trung bình hài hòa có thể định nghĩa như sau: cho một dãy số x1, x2, x3, ...xn, số trung bình hài hòa H là «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»H«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mfrac»«mn»1«/mn»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mfrac»«/math» . Cụ thể hơn, nếu có 2 số x1, x2, thì «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»H«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mrow»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfrac»«/math».  Với 3 số x1, x2, x3, thì «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»H«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«msub»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/mrow»«mrow»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«msub»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«msub»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfrac»«/math».

No comments: